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By Siegmund Brandt

Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.

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Wir haben dann die Ausgangsgleichungen fj (x, η) = ηj − hj (x) = 0 , j = 1, 2, . . , n . Wir können diesen Fall jedoch auf den linearen zurückführen, wenn wir die fj nach Taylor entwickeln und die entstandene Reihe nach dem ersten Glied abbrechen. Wir führen die Reihenentwicklung an dem „Punkt“ x0 = (x10 , x20 , . . , xr0 ) durch, der eine erste Näherung der Unbekannten darstellt, die man sich auf irgendeine Weise verschafft hat, fj (x, η) = fj (x0 , η) + Definieren wir jetzt ∂fj ∂x1 (x1 − x10 ) + · · · + x0 ⎛ x1 − x10 ∂fj ∂xr (xr − xr0 ) .

Dabei ist √ xi = Cii . Es gibt allerdings keine Garantie für die Konvergenz des Verfahrens. Offenbar ist mit Konvergenz um so eher zu rechnen, je besser die Näherung der nach dem ersten Glied abgebrochenen Taylor-Entwicklung in dem Bereich ist, in dem x während des Verfahrens variiert. Man sollte daher von einer möglichst guten ersten Näherung ausgehen. 4 Beispiel: Anpassung einer nichtlinearen Funktion In vielen Experimenten wird nach „Signalen“ gesucht, die oft die Form der Gaußschen Glockenkurve haben und die noch über einem sich langsam mit der kontrollierten Variablen t veränderndem „Untergrund“ liegen.

In [DA], Kap. 10, werden Algorithmen der Minimierung an Hand von Beispielen beschrieben. 2 Bestimmung unsymmetrische Fehler Messfehler sind nicht immer symmetrisch. Unsymmetrische Fehler treten insbesondere auf bei der Abzählung kleiner Stichproben ([DA], Abschn. 8), und in einigen Fällen von kleinsten Quadrate ([DA], Abschn. 13) und Maximum Likelihood ([DA], Abschn. 17). Zudem können Fehlergrenzen durch die allgemeineren Konfidenzgrenzen ersetzt werden, die auch an den zitierten Stellen diskutiert werden.

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